线性代数（笔记四） MIT公开课（来源网易云课堂） - 飘飞的梦 - 博客园
行百里者半九十
线性代数（笔记四）
课程来源：（课程链接）
作者简述：作者为一名正在读研的学生，自己的数学状态较差。本科期间所学均能算跟得上，而且通过自己的努力经过了研究生考试。但是对数学的理解并不透彻，只是根据课上所学去做题而已。如今科研中，许多过程均需要用到所学的数学知识，然而一个好的理解和一个扎实的基础才是科研之本。数学虽然是作为一种工具，如果不了解含义，无论是是使用上还是在其基础之上进行修改均显得支支吾吾。于是决定重新学习线性代数相关知识，并做此笔记以供复习或和他人分享。
用途：此系列文章均是作者在课上所学及其自己相关的数学思想所做的笔记，如有理解错误之处还望大家指出。本系列文章均可不咨询情况下任意转载和学习（不可商用）。
作者研究方向为机器学习，如果有相同方向的小伙伴想一起学习，请加QQ（备注来源博客），如果人数较多还可能建群。同时发现文章中有错误之处也请发邮件到。
&&&&& 在上节课中，我们介绍了矩阵乘法的五种方法。同时引出了矩阵的逆，并利用前几节课的知识对逆进行理解及求解。在这节课中，我们首先介绍求解逆矩阵的几个基本的公式，然后在消元的基础上来叙述A的LU分解。
一、逆的基本公式
&&&&& 在这首先介绍两个逆的基本公式，并且给出其推导方法。这样我们就可以从定义的角度进行理解，而非死记硬背。
&&&&& 1、由定义而来的最基本的公式AA~ = I = A~A（~为逆），这里两个矩阵的乘法可以交换顺序。
&&&&& 2、求矩阵A和矩阵B的乘积AB的逆矩阵。具体推导过程如下：
&&&&&&&&&& AB（？） = I ，我们想求解？所表示的矩阵是什么。不难看出ABB~A~ = I，由结合律可以很明显的表现出A（BB~）A~ = I，再由结合律可以看出（AB）（B~A~）= I。则由此可以得出？所表示的矩阵为B~A~。
&&&&&&&&&& AB的逆为B~A~，这里的乘积顺序发生了变化。在视频中教授开了一个玩笑说。这就好比穿了袜子再穿鞋的相反动作那就是得要先脱鞋再拖袜子。
&&&&& 3、在已知I^ = I（这里的^为转置）及（AB）^ = B^A^的条件下，求解A^的逆矩阵。推导过程如下：
&&&&&&&&& AA~ = I ，两边同时进行转置操作则得出（A~）^A^ = I。很明显可以得出A^的逆矩阵为（A~）^。即（A^）~ = （A~）^。
二、A的LU分解
&&&&& 对于矩阵A我们可以通过一种变换将其变成矩阵U，例如对第一行进行加倍并加到第二行中的变换E21。如下矩阵所示：
在上面这个图中E21所带表的矩阵是什么呢？我们可以利用上节矩阵相乘的知识求解出E21为如下所示：
很显然我们所表示的是E21A = U，那么下面我们将对他进行变换使其成为A = LU的形式。在等式两边左侧同时乘以E21~则可以很容易得出A = E21~U，则L = E21~。A = LU的表示形式如下：
可以看出L（Lower）为下三角阵，U（Uper）为上三角阵。A的LU分解就相当于把A分解为两个三角阵的乘积形式。从消元的角度出发L为对矩阵A消元成矩阵U所做的变换的逆。下面我们将从3&3矩阵中去深刻理解这句话，并去探讨为什么存在A = LU的这种形式。
三、3&3矩阵的A = LU
&&&&& 在我们进行消元的过程中，我们通常去寻找一个矩阵中的主元（前几节讲过），然后利用主元对其他行进行消元。在消元十分顺利的情况下（可以进行消元且不存在因为寻找主元而更换矩阵两行的情况），我们可以将一个3&3的矩阵A消元的过程表示如下：
E32E31E21A = U ①
&&&&& 其所表达的意思为通过第一行的倍数对第二、三行进行消元，同时利用消元过的第二行的倍数再对第三行进行消元，使其成为一个上三角阵。很显然L矩阵可以表示为：
L = E21~E31~E32~ ②
那么一个很显然的问题来了，既然我们可以将消元表示为第①种形式，那么我们为什么还要导出其第②种形式呢？下面通过一个例子进行讲解。
这里我们首先假设E31为单位矩阵，即在用第一行对第三行进行消元过程中无需做任何变换。看如下例子：
如果将其表示为L，则由②可得如下式子：
如果第一个式子用E表示，那么我们可以看出E和L的区别。E中存在一个10，而相反L中此处却为0。之所以我们不用E去表示而选择用L是因为E的消元乘数太大。E中通过第一行的倍数对第二行进了消元，而又通过消元过的第二行的倍数对第三行进行了消元。很明显这个过程中出现了叠加，导致乘数变大。如果消元中不存在交换两行的这种变换，那么消元的乘数（E21~等）即可用来直接求解L。“受人之托 忠人之事”—用法律伸张正义，让专业彰显魅力—
宋文明律师
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加倍支付迟延履行期间利息的分析——关于适用民诉法第二百五十三条的理解
& & & & & & &
& & & & & & &适用民诉法第二百五十三条，不以当事人申请为要件，法院在执行过程中，应当以职权主动适用；计算迟延履行期间的债务利息，应当按照《最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释》的规定执行。
一、被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息，不以当事人申请为要件，法院应当依职权主动适用。
《民事诉讼法》第二百五十三条规定 被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。
根据日《最高人民法院关于在民事判决书中增加向当事人告知民事诉讼法第二百三十二条规定内容的通知》法[2007]19号（日修正版）“根据《中共中央关于构建社会主义和谐社会若干重大问题的决定》有关‘落实当事人权利义务告知制度’的要求，为使胜诉的当事人及时获得诉讼成果，促使败诉的当事人及时履行义务，经研究决定，在具有金钱给付内容的民事判决书中增加向当事人告知民事诉讼法第二百二十九条规定（即新民诉法第二百五十三条）的内容。现将在民事判决书中具体表述方式通知如下：一审判决中具有金钱给付义务的，应当在所有判项之后另起一行写明：如果未按本判决指定的期间履行给付金钱义务，应当依照《中华人民共和国民事诉讼法》第二百二十九条之规定，加倍支付迟延履行期间的债务利息。” &
日，最高人民法院公布了《关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息适用法律若干问题的解释》（以下简称《解释》）。最高人民法院执行局负责人答记者问：“我们在制定这部解释时主要坚持了两项原则。一是法定原则。《民事诉讼法》第253条明确规定，被执行人迟延履行的，“应当”支付迟延履行期间的债务利息。通过文义解释的方法，无论申请执行人是否申请，法院都应当依职权计算迟延履行期间的债务利息。二是平等保护当事人合法权益的原则。迟延履行利息制度的任务在于促使债务人履行义务，从而实现债权人的债权。虽然该制度的主要目的是保护债权人的合法权益，但是，也不能过分加重债务人的负担。如果利息负担过重，致使债务人放弃偿债的努力，反而不利于及早实现债权。因此，本解释从平等保护当事人合法权益的原则出发，平衡了当事人的利益，以求执行措施合理得当。”“本解释第一次明确规定了一般债务利息与加倍部分债务利息的关系，计算加倍部分债务利息的截止时间、扣除期间，外币案件如何计算加倍部分债务利息等；重新规定和细化了起算时间、执行款项的清偿顺序等。”
综上，根据最高院执行局负责人的说法，《民事诉讼法》第253条明确规定，被执行人迟延履行的，“应当”支付迟延履行期间的债务利息。通过文义解释的方法，无论申请执行人是否申请，法院都应当依职权计算。根据《执行规定》第24条的规定，法院在执行前的准备过程中应当向被执行人发出执行通知书，责令被执行人承担迟延履行利息或迟延履行金，这也说明迟延履行利息是法院必须采取的一项执行措施，并不以当事人申请为启动要件。
二、计算迟延履行期间的债务利息，应当按照《最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释》的规定及适用条件计算。
1、最高人民法院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息适用法律若干问题的解释的规定。
根据《最高人民法院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息适用法律若干问题的解释》第一条规定，根据民事诉讼法第二百五十三条规定加倍计算之后的迟延履行期间的债务利息，包括迟延履行期间的一般债务利息和加倍部分债务利息。迟延履行期间的一般债务利息，根据生效法律文书确定的方法计算；生效法律文书未确定给付该利息的，不予计算。加倍部分债务利息的计算方法为：加倍部分债务利息=债务人尚未清偿的生效法律文书确定的除一般债务利息之外的金钱债务×日万分之一点七五×迟延履行期间。
该条文中的“一般债务利息”和“加倍部分债务利息”的关系及计算方法都予以明确。根据《民事诉讼法》第253条规定加倍计算后的“迟延履行期间的债务利息”是一个整体概念，包括迟延履行期间的一般债务利息和加倍部分债务利息两部分。一般债务利息，是指在生效法律文书中，根据实体法规定（如合同法）所确定的利息。例如：一份判决确定，债务人应支付自双方签订合同之日起至款项付清之日止，按双方合同约定的日万分之五的利率计算的利息。那么，在本案中，按照日万分之五计算的利息就是一般债务利息。应当说明的是，并不是所有的金钱给付案件都有一般债务利息，侵权损害赔偿等案件通常就没有支付一般债务利息的内容。加倍部分债务利息，是指在强制执行程序中，被执行人因迟延履行，根据《民事诉讼法》第253条的规定而应多支付的利息。加倍部分债务利息采用单独的计算方法，与一般债务利息的计算没有关系。通俗地讲，就是两者“各算各的，互不影响”。具体而言，计算一般债务利息，根据生效法律文书确定的基数、起止时间、利率等计算；计算加倍部分债务利息根据本解释规定的方法计算。
2、迟延履行期间债务利息的计算方法。
（1）迟延履行期间的债务利息=迟延履行期间的一般债务利息+加倍部分债务利息。
（2）关于加倍计算迟延履行期间债务利息的计算方法：加倍部分债务利息=债务人尚未清偿的生效法律文书确定的除一般债务利息之外的金钱债务×日万分之一点七五×迟延履行期间。
最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释理解与适用第42——43页内容（案例）
例一：日生效的法律文书确定，债务人应在三日内支付债权人借款本金10000元；支付自日始至借款付清之日止以日万分之五计算的利息；债务人迟延履行的，应当根据《中华人民共和国民事诉讼法》第253条的规定加倍支付迟延履行期间的债务利息。债务人于日清偿所有债务。
在这个案例中，迟延履行期间的债务利息=借款本金×生效法律文书确定的一般债务利息率×迟延履行期间的实际天数+借款本金×日万分之一点七五×迟延履行期间的实际天数（405元=1%×60+15%×60）；迟延履行期间开始前的一般债务利息=借款本金×生效法律文书确定的一般债务利息率×迟延履行期间开始前的实际天数（915元=1%×183）。债务人应当支付的金钱债务为11320元 (11320元=10000元+405元+915元)。
例二：日生效的法律文书确定，债务人应在三日内支付债权人侵权损害赔偿10000元；债务人迟延履行的，应当根据《中华人民共和国民事诉讼法》第253条的规定加倍支付迟延履行期间的债务利息。债务人在日清偿所有债务。
迟延履行期间的债务利息=损害赔偿额X日万分之一点七五X迟延履行期间的实际天数=10000X。0
债务人应当支付的金钱债务为10105元（10105元=10000元+105元）。
3、起算时间
根据《最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释》第三条规定，加倍部分债务利息计算至被执行人履行完毕之日；被执行人分次履行的，相应部分的加倍部分债务利息计算至每次履行完毕之日。人民法院划拨、提取被执行人的存款、收入、股息、红利等财产的，相应部分的加倍部分债务利息计算至划拨、提取之日；人民法院对被执行人财产拍卖、变卖或者以物抵债的，计算至成交裁定或者抵债裁定生效之日；人民法院对被执行人财产通过其他方式变价的，计算至财产变价完成之日。非因被执行人的申请，对生效法律文书审查而中止或者暂缓执行的期间及再审中止执行的期间，不计算加倍部分债务利息。
关于对的理解“履行完之日”，该解释规定：（1）法院直接对被执行人的金钱财产进行划拨、提取的，相应部分的加倍部分债务利息计算至划拨、提取之日。（2）法院对被执行人财产进行拍卖、变卖或以物抵债的，相应部分的加倍部分债务利息计算至成交裁定或抵债裁定生效之日。（3）人民法院对被执行人财产通过拍卖、变卖、以物抵债之外的其他方式变价的，相应部分的加倍部分债务利息计算至变价完成之日。
4、适用《最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释》的溯及力问题
根据《最高院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息司法解释》第七条规定，第七条 本解释施行时尚未执行完毕部分的金钱债务，本解释施行前的迟延履行期间债务利息按照之前的规定计算；施行后的迟延履行期间债务利息按照本解释计算。本解释施行前本院发布的司法解释与本解释不一致的，以本解释为准。
本解释自日实施，无论是新立案还是尚未执行完毕的案件，对于其尚未执行到位的债权，以日为届。8月1日前迟延履行期间的利息，按照当时的规则进行计算；8月1日以后的利息，按照本司法解释计算。
关于本司法解释实施之前的迟延履行期间债务利息计算应按照“同期贷款利率的2倍”计算。本司法解释实施之后的，按照本司法解释执行。他的最新文章
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(最多只允许输入30个字)matlab 矩阵 元素加倍比如给你一个二维矩阵,要求把其中小于10的数都乘以10,怎么实现呢
最简单最正确最快速的方法是：A(A
T/445度>T/4T=2π/w但我看不懂谁能解释下">3.已知函数f(x)=2sinwx在区间【-60度,45度】上的最小值为-2,则w的取值范围是?我们老师给的答案是（-无穷,-2】u 【3/2,正无穷）能算对的给个过程好像不对啊我们老师讲的时候给了我们两个式子60度>T/445度>T/4T=2π/w但我看不懂谁能解释下
有最小值-2说明wx=-90,x=-90/w-60≤x≤45推出-60≤-90/w≤45得到目标
第一个问题：∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx,　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x.令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0,得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0.∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0.考虑到函数的定义域,需要x＞0.　∴只有：x^2＞a、x＞0.考查x^2＞a、x＞0,当a≦0时,x＞0.　当a＞0时,x＞√a.∴当a≦0时,函数的增区间是（0,＋∞）、没有减区间.　当a＞0时,函数的增区间是（√a,＋∞）、函数的减区间是（0,√a）.第二个问题：令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3.求导数,得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x.显然,当x＞1时,F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0,∴当x＞1时,F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函数,而F′（1）＝1＋1－2＝0,∴当x＞1时,F′（x）＜0,　∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函数,又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0,∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0,∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 .
f(x)=√3sin(wx+Φ）-cos（wx+Φ）（0＜Φ＜π,w＞0）=2[√3/2sin(wx+Φ）-1/2cos（wx+Φ）]=2sin(wx+Φ-π/6)∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x)∴Φ-π/6=kπ+π/2,k∈Z∵0＜Φ＜π∴Φ=2π/3∵周期T=π/2∴2π/w=π/2,w=4∴f(x)=2sin(4x+π/2)=2cos4x∴f(π/8)=2cos(π/2)=0
只有五个一 集合与简易逻辑集合具有四个性质 广泛性 集合的元素什么都可以确定性 集合中的元素必须是确定的,比如说是好学生就不具有这种性质,因为它的概念是模糊不清的互异性 集合中的元素必须是互不相等的,一个元素不能重复出现无序性 集合中的元素与顺序无关二 函数这是个重点,但是说起来也不好说,要作专题训练,比如说二次函数,指数对数函数等等做这一类型题的时候,要掌握几个函数思想如 构造函数 函数与方程结合 对称思想,换元等等三 数列这也是个比较重要的题型,做体的时候要有整体思想,整体代换,等比等差要分开来,也要注意联系,这样才能做好,注意观察数列的形式判断是什么数列,还要掌握求数列通向公式的几种方法,和求和公式,求和方法,比如裂项相消,错位相减,公式法,分组求和法等等四 三角函数三角函数不是考试题型,只是个应用的知识点,所以只要记熟特殊角的三角函数值和一些重要的定理就行五 平面向量这是个比较抽象的把几何与代数结合起来的重难点,结体的时候要有技巧,主要就是把基本知识掌握到位,注意拓展,另外要多做题,见的题型多,结体的时候就有思路,能够把问题简单化,有利于提高做题效率高一的数学只是入门,只要把基础的掌握了,做题就没什么大问题了,数学就可以上130
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