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初等数论试卷和答案
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初等数论试卷和答案
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3秒自动关闭窗口初等数论考试试卷1；一、单项选择题(每题3分，共18分)；1、如果ba，ab，则().；Aa?bBa??bCa?bDa??b；2、如果3n，5n，则15（）n.；A整除B不整除C等于D不一定；3、在整数中正素数的个数（）.；A有1个B有限多C无限多D不一定；4、如果a?b(modm),c是任意整数,则；Aac?bc(modm)Ba?bCac?bc(m；5、如
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果ba，ab，则(
2、如果3n，5n，则15（
3、在整数中正素数的个数（
4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
ac?bc(modm)
ac?bc(modm)
),则不定方程ax?by?c有解.
6、整数5874192能被(
二、填空题(每题3分，共18分)
7、素数写成两个平方数和的方法是（
8、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是(
9、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为(
10、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者(
11、a,b的公倍数是它们最小公倍数的(
12、如果a,b是两个正整数,则存在(
)整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分)
13、求[136,221,391]=?
14、求解不定方程9x?21y?144.
15、解同余式12x?15?0(mod45).
?429???563??,其中563是素数. （8分） 16、求
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
??6是整数. 17、证明对于任意整数n,数32
18、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
19、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和.
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D. 2、A
二、填空题(每题3分，共18分)
7、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
8、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
a[]9、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为(
10、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素
11、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数
12、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391] 136?221,39117
------------(4分)
------------（4分）
14、求解不定方程9x?21y?144.（8分）
解：因为（9，21）=3，3，所以有解；
----------------------------（2分）
化简得3x?7y?48；
-------------------（1分）
考虑3x?7y?1，有x??2,y?1，
-------------------（2分）
所以原方程的特解为x??96,y?48，
-------------------（1分）
因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。
-------------------（2分）
15、解同余式12x?15?0(mod45).
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3.
----------（1分） 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y.
------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）
即定理4.1中的x0?10.
------（1分）
因此同余式的3个解为
x?10(mod45),
---------（1分）
x?10?45(mod45)?25(mod45)3, -----------------（1分）
45(mod45)?40(mod45)3.---------（1分） x?10?2?
16、求?563?,其中563是素数. （8分）
?429???563?看成Jacobi符号,我们有 解 把?
?429????(?1)?563?429??563????429?
8?563??134??2??67?????????????(?1)????????
?67???429??---------------（3分）
?67???????(?1)?429?
?27???????(?1)?67?67??429??429????????67??67?----------------------（2分） 27?167?1.22?67??67???????27??27?
?13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余.
---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
??6是整数. (10分) 17、证明对于任意整数n,数32
nn2n3n1(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)??26=6 证明 因为3=6,
------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并且(2,3)=1,
-----（1分） 所以从2n(n?1)(n?2)和n(n?1)(n?2)有6n(n?1)(n?2),-----（3分） nn2n3
??26是整数.
-----（1分） 即3
18、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
证明 因为(n?1)?n?3n?3n?1,
-------------（3分）
2所以只需证明3n?3n?1?(mod5). 332
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7.
2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
2所以3n?3n?1?(mod5)
---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
--------（1分）
19、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n是正数,并且n??1(mod4),
----------（3分） 如果
---------（1分）
则因为对于模4,x,y只与0,1,2,-1等同余,
22x,y所以只能与0,1同余,
x2?y2?0,1,2(mod4),
---------（4分）
而这与n??1(mod4)的假设不符,
---------（2分） 即定理的结论成立.
初等数论考试试卷二
一、单项选择题
1、(0,b)?（
2、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（
3、小于30的素数的个数（
4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
ac?bc(modm)
ac?bc(modm)
5、不定方程525x?231y?210（
D 有负数解
6、整数5874192能被(
7、如果ba，ab，则(
8、公因数是最大公因数的（
9、大于20且小于40的素数有（
10、模7的最小非负完全剩余系是(
-3，-2,-1,0,1,2，3
-6，-5,-4,-3,-2,-1
1,2,3,4,5，6
),所以不定方程12x?15y?7没有解.
[12，15]不整除7
（12，15）不整除7
7不整除（12，15）
7不整除[12，15]
12、同余式x2?438(mod593)（
有无限个解
（1分） 0,1,2,3,4，5，6
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